Despre Fractali

Prezenta lucrare se vrea a fi o privire de ansamblu asupra fractalilor, care stau la baza Teoriei haosului si reprezinta un punct de referinta ce cu siguranta va avea repercursiuni asupra firului evolutiv pe care omenirea urmeaza a-l parcurge in viitorul apropiat. Am incercat sa creez o viziune de ansamblu asupra fenomenului fractal, implicit a aplicatiilor si modificarilor pe care le favorizeaza in procesul de acomodare cu o noua maniera de a intelege si percepe mediul inconjurator, si chiar universul din care facem parte.

Cuvantul fractal a fost folosit pentru prima oara de Benoit Mandelbrot in anul 1975,in cadrul lucrarii “O teorie a seriilor fractale”,si a fost atribuit acelor “forme” ce prezinta o serie de proprietati specifice,precum autosimilaritatea sau dimensiunea fractala, si nu pot fi caracterziate in geometria traditionala dat fiind gradul ridicat de complexitate. Acest cuvant provine din latinescul “frangere”, care s-ar traduce : a descopune in franturi neregulate…subliniind una din caracteristicile fractalilor.
Dar ce sunt, pana la urma fractalii? Mandelbrot ii defineste ca fiind acele forme care au dimensiunea Haussdorf-Besicovitch mai mare decat dimensiunea topologica. In geometria Euclidiana, lucrurile sunt relativ simple. Punctul este adimensional,deci are dimensiunea 0. Dreapta are dimensiunea topologica 1, planul 2, iar spatiul 3. In “O teorie a seriilor fractale”, pionierul geometriei fractale defineste a patra dimensiune, care contine si intervalele infinite dintre primele trei dimensiuni. Mai exact, exista anumite figuri geometrice care nu au dimensiunea 1,2 sau 3 ci undeva intre aceste valori. Dimensiunea fractala masoara gradul de complexitate a unei forme geometrice. Fractalii sunt acele forme ce au ca dimensiune fractala un numar fractionar. Un arc de cerc, privit la o scara foarte,foarte mica, se confunda cu o dreapta. Ori in cazul fractalilor,acest lucru nu este posibil. Apropiindu-ne oricat de mult de un fractal, nu vom descoperi altceva decat figuri asemanatoare cu cea initiala…gradul de complexitate al lor fiind infinit. De aceea se si spune despre fractali ca sunt structuri infinit de complexe.
Un exemplu clasic este fractalul “Pulberea lui Cantor”,obtinut dupa algoritmul:
• un segment de dreapta se imparte in trei parti egale
• partea din mijloc se elimina
• se repeta primii doi pasi
Prin intermediul acestui proces recursiv, obtinem o “figura” numita praful lui Cantor, cu dimensiunea fractala de 0.63…adica o figura intre punct si dreapta.
Un astfel de fenomen nu poate fi explicat in geometria euclidiana, care trateaza doar acele obiecte asa-zis ideale. Insa natura nu se incadreaza in tiparele definite de om, astfel ca geometria clasica este o idealizare a universului, a materiei,a mediului inconjurator, cunoscut fiind faptul ca in natura formele nu sunt regulate, marea majoritate a fenomenele urmand legi deloc liniare. Descoperirea lui Mandelbrot, implicit initierea omului in teoria Haosului ne impinge catre o noua frontiera,deschide portalul spre o cunoastere superioara, o treapta superioara celei pe care am pasit ultima data. Geometria fractala se apropie cu mult mai mult de natura, de legile sale, de intelegerea acestui univers dinamic, ce se autocreeaza in fiecare clipa.
Curba lui Koch este un alt exemplu de fractal clasic. Algoritmul este relativ simplu:
• un segment de dreapta cu lungime finita, se imparte in trei segmente egale
• cel din mijloc va constitui baza unui triunghi echilateral, dupa care se va elimina
• se repeta procesul pentru segmentele nou create
Se poate observa cu usurinta ca lungimea curbei lui Koch este infinita,deoarece la fiecare iteratie, pasii de mai sus se aplica fiecarui segment, numarul acestora multiplicandu-se de patru ori, lungimea fiecaruia fiind 1/3 din lungimea segmentelor de la pasul anterior. Astfel , lungimea creste cu 1/3,iar la a n-a iteratie,aceasta va fi (4/3)^n,deci tinzand spre infinit.
Dimensiunea fractala a curbei Koch este egala cu lg4/lg3 adica aproximativ 1.26. Oricat de mult am micsora scara, oricat de mult am inainta cu privirea in interiorul figurii, imaginea pe care o vom observa va fi identica cu cea de la care am pornit. Acesta este un exemplu de autosimilaritate perfecta, ce se gaseste doar la fractalii matematici, natura folosindu-se de o autosimilaritate relativa, sau statistica.
Steaua lui Koch este un alt exemplu de fractal, in care putem observa un paradox interesant. Algoritmul pentru realizarea acestui fractal este asemanator celui de mai inainte, cu exceptia ca se porneste nu de la un segment de dreapta, ci de la un triunghi echilateral, caruia I se aplica algoritmul folosit pentru construirea curbei lui Koch. Ce vom obtine? Dupa prima iteratie se va obtine o figura asemanatoare stelei lui David, cu lungimea mai mare decat a primei figuri.



Continuand iteratiile la nesfarsit, vom ajunge in situatia in care lungimea stelei lui Koch va fi infinita, insa va delimita o arie finita,egala cu 8/3 din aria triunghiului initial. Un fenomen ce cu greu poate fi imaginat, insa real. Mandelbrot a folosit aceste argumente in lucrarea sa “Cat de lunga este coasta Marii Britanii” facand printre primele corelatii intre fenomenele naturale si structurile fractalice.
Dupa cum spuneam, in natura nu se regasesc fractali matematici, autosimilaritatea manifestandu-se la un nivel relativ. Exista insa fractali precum multimea Julia sau multimea Mandelbrot care ilustreaza perfect aceasta autosimilaritate relativa.
Pentru a putea patrunde in taramul matematic al fractalilor, trebuie sa ne concentram atentia asupra unui domeniu ce a luat fiinta la inceputul secolului XX, si anume iterarea functiilor complexe. Matematicienii francezi Gaston Julia si Pierre Fatou au fost cei ce au pus bazele dinamicii complexe. Munca acestora, desi recunoscuta ca fiind importanta, a fost ignorata de marea majoritate a comunitatii matematice, asta pana la revitalizarea domeniului, datorita lui Bonoit Mandelbrot si descoperirilor sale uluitoare.
Julia a studiat iteratiile functiei f(z)=z^2 + c pentru valori complexe ale lui z si c, ultima fiind avand o valoare fixa pe parcursul iteratiilor.S-a dovedit ca aceasta problema duce la reuzltate interesante, atat de interesante inca chiar si acum, dupa aproape 100 de ani, sunt inca cercetate.
Pentru a defini multimile si julia, vom folosi doua notiuni ajutatoare.Astfel f[n](z) a n-a iteratie a valorii initiale z. Multimea formata din valorile {z, f(z),f[2]z,…,f[n],z…) se va numi orbita, iar valoarea initiala o vom numi samanta.
Numim multime Julia, multimea formata din toate numerele complexe cu proprietatea ca orbita functiei f aplicata samantei z este marginita.
Mai exact, oricat am continua procesul iterativ, valoarea iteratiei nu va tinde spre infinit. Reprezentand grafic acesta multime, vom obtine un fractal.


La sfarsitul anilor ’70, Mandelbrot si-a pus problema altfel: pentru ce valori ale lui c, orbita functiei f pornind de la samanta z=0 este marginita? Adica pentru diferite valori ale lui z, cautam sa vedem daca iteratiile vor tinde spre infinit,sau vor ramane finite.
Defenim multimea Mandelbrot ca fiind multimea tuturor numerelor complexe c cu proprietatea ca orbita functiei f pornind de la samanta z=0 este marginita.

Aceasta multime are cateva proprietati interesante, cum ar fi:
• este conexa, adica orice doua puncte din multimea Mandelbrot sunt unite de o linie continua
• multimea Mandelbrot este submultimea planului complex formata din toti parametrii c pentru care multimile Julia aferente sunt conexe
• multimea Mandelbrot este inclusa intr-un disc de raza 2 si centru in origine, iar un punct nu se afla in aceasta multime daca exista o iteratie in orbita functiei f ce se afla in afara acestui disc.
Intersectia acestei multimi cu axa numerelor reale este intervalul [-2, 0.25],iar cu axa numerelor imaginare este intervalul [-1.25,1.25].
Initial, Mandelbrot a presupus ca aceasta multime nu este conexa, si a dedus aceasta ipoteza pe baza proiectiilor grafice. Ulterior insa, acesta si-a modificat ipoteza datorita cercetarilor lui Douady si Hubbard care au demonstrat ca multimea Mandelbrot este de fapt conexa. Dimensiunea Housedorff a granitei acestei multimi este egala cu 2, rezultat descoperit de Mitsuhiro Shishikura

Punctele ce nu tind nici spre infinit, nici spre zero sunt reprezentate in graficul multimii mandelbrot cu negru. Cele ce prezinta un comportament normal, prin aceasta intelegandu-se faptul ca ori tind spre infinit, ori spre 0 in mod firesc, nu sunt reprezentate. In fine, punctele ce prezinta cel mai mare interes sunt cele aflate la frontiera multimii Mandelbrot. Acestea prezinta un comportament ciudat, haotic, unele dintre ele avand un comportament stabil in timpul unui anumit numar de iteratii, dupa care dintr-o data converg ori spre infinitul mare, ori spre cel mic. Acestea sunt colorate in functe de numarul de iteratii in care raman stabile.

Astfel,inca de la primele incursiuni in taramul, fractalilor observam un fenomen ce sta la baza teoriei haosului, si anume dependenta fata de conditiile initiale. Cum anume se manifesta aceasta sensibilitate fata de parametrii initiali? Un bun exemplu ar fi fenomenul descoperit de Lorenz in anii 60. Pe vremea aceea incerca sa realizeze un sistem de ecuatii cu ajutorul carora sa poata realiza prognoze meteorologice exacte. In acest sens, el a ales o serie de 12 ecuatii matematice pentru a putea identifica diferite tipare meteorologice. La un moment dat, pentru verificarea rezultatelor, in loc sa introduca exact aceeasi valoare ca si in cazul precedent, si anume 0.506127, a aproximat aceasta valoare la 0.506. Si nu mica i-a fost surprinderea atunci cand si-a dat seama ca,desi la inceput rezultatele erau relativ asemanatoare, dupa o perioada de timp acestea s-au desprins, fiecare luand directii separate si valori cu totul distincte. Astfel, Lorenz a initiat celebra teorie a fluturelui, conform careia o simpla bataie de aripi a unui fluture la un moment dat si intr-un anumit loc, Sudul Americii sa presupunem, se poate transforma intr-o tornada in America de nord la interval de cateva saptamani. (lucru pe care anumite popoare il cunosteau de mult, pe cale intuitiva “aripa unui fluture poate declansa un uragan”…spun indienii,prin asa-zisul fenomen de rezonanta,urmand avalansa…)
Descoperirea lui Lorenz a fost un mare pas inainte pentru teoria Haosului, din acel moment incepand sa fie luata in seama in toate ramurile stiintei. Caci, daca pana atunci, diferenta dintre rezultate era considerata neglijabila, nefiind luata in calcul, ulterior s-a dovedit ca luand in seama orice modificare, cat de mica, a parametrilor initiali, efectul va fi acelasi : aparitia haosului. Astfel ca bataile inimii sunt haotice, miscarea sistemului solar este de asemenea haotica, vremea la fel… Se pare ca natura nu se fereste de acest fenomen deosebit, ba chiar il foloseste cu succes. Aproape toate formele intalnite in natura sunt de origine fractala, de la recifurile de corali pana la structura muntilor, nori sau plante. Cercetarile in domeniul biologiei s-au dovedit extrem de productive, reusindu-se identificarea structurilor fractalice chiar si in corpul uman. Bronhiile pulmonare, ramificatia venelor, structura rinichilor, dispozitia cromozomilor… Natura ne-a plamadit din structuri fractalice deosebit de complexe, insa echilibrul exista, manfestat la nivel global. Si iata o alta particularitate a structurilor haotice. Acestea manifesta stabilitate la nivel global, insa local haosul pare a domina sectiunile particulare. Mandelbrot a fost printre primii ce au reusit sa evidentieze acest lucru. Studiind domeniul economic, el a realizat o statistica a pretului bunbacului pe o perioada de 60 de ani, observand in rezultate o directie ce parea a urma reguli matematice , desi inca nu-si dadea seama despre ce era vorba. Abia mai tarziu si-a dat seama ca aceste structuri aveau unele proprietati ale fractalilor, si reuseau sa reproduca cu destul de mare fidelitate tendinta generala a pietei economice, chiar daca nu putea prezice ce se va intampla la un moment dat. Aceasta pare sa fi dovedit cautarea mistica a economistilor: Piatra filosofala in acest caz pare a fi chiar rezolvarea acestei probleme: cine va reusi sa descopere algoritmii prin intermediul carora sa treaca dincolo de haos, va reusi sa domine orice piata existenta in momentul de fata.


Fractalii incep incet,incet sa-si faca loc intr-o lume dominata de gandirea bazata pe geometria euclidiana. O astfel de schimbare este in mod evident dificila,insa, dupa cate se pare, acesta este cursul ce ne asteapta in viitor: readaptarea tuturor viziunilor asupra lumii, asupra naturii, asupra modului de viata ales. Tot ceea ce ne inconjoara sunt adaptari ale conceptelor euclidiene, extinderi si aplicatii ale domeniului studiat de mii de ani. Insa conceptele introduse de geometria fractala, impun o schimbare esentiala in modul nostru de manifestare.
Cateva domenii stiintifice importante par a raspunde acestei provocari: medicina, astronomia, informatica, dinamica fluidelor…
Faptul ca natura foloseste in mod constant structurile fractalice a impus medicinei o focalizare asupra studiului fractalilor. Pornind de la diverse organe cum ar fi inima, plamanii, continuand cu ramificatiile venelor, structurile neurale si ajungand pana la dispozitia cromozomiala sau structura ADN-ului, ne dam seama ca suntem inconjurati de un univers fascinant pe care abia acum am ajuns sa-l descoperim, desi el exista inca de la inceputurile universului. Pana nu demult, toata lumea credea ca ritmul cardiac “normal” este cel regulat, insa recent s-a descoperit ca nu e deloc asa, ba mai mult, ceea era considerat normal are efectul exact opus. O inima sanatoasa are un ritm cardiac neregulat, pe cand o inima cu probleme tinde sa-si regularizeze ritmul.
In ecologie, stucturile fractalice se intalnesc la tot pasul, iar introducerea notiunilor legate de fractali si dimensiunea lor ajuta la completarea analizelor privitoare la diverse fenomene. Fragmentarea solului, a rocilor, structurile formelor de relief, gradul de raspandire a unei anumite specii sau directiile pe care diverse clase de animale o vor urma intr-o perioada lunga de timp pot fi caracterizate prin intermediul fractalilor si a proprietatilor lor. Pe masura ce timpul se scurge, intelegerea naturii pare sa-si domoleasca aura ancestral-mistica, dezvaluindu-se inaintea noastra ca un produs al perfectiunii divine,care oranduieste totul intr-o armonie absolut perfecta.
Poate ca unele dintre cele mai spectaculoase aplicatii ale fractalilor gasite pana acum sunt computerele, sau, mai exact, domeniul ce graviteaza in jurul graficii pe calculator. Din stadiul in care Mandelbrot reusea sa materializeze primii fractali pe monitoare, tehnologia a evoluat intr-un ritm halucinant, mentinand mereu in crestere ritmul inovatiilor si avansurilor ce ne invadeaza in mod constant. Structurile fractalice, cat si analiza diverselor tipare gasite in natura, a permis crearea unor conditii de simulare deosebit de realiste, punand astfel la dispozitia stiintei o unealta poate indispensabila in viitor: simularea concreta a diferitelor fenomene naturale, lucru ce ne-ar permite o intelegere inmiita a tot ceea ce ne inconjoara. Mai concret spus, realitatea virtuala,care deja exista, ridicata la nivelul de reflctie perfecta a realitatii materiale.
Tot ceea ce intalnim in materie de efecte speciale in cinematografe sau televizoare, au la baza acest concept fascinant numit fractal. Traim parca intr-o era in care gandurile sau ideile se materializeaza cu o viteza uluitoare,astfel ca poarta spre imposibil a fost deschisa de mult timp, de vreme ce deja am reusit sa oprim atractia halucinanta a infinitului (fie el mare sau mic) limitand-o la diferite multimi ce pot fi studiate indeaproape prin initermediul computerului.
Una din cele mai folosite aplicatii la nivel global in zilele noastre, internetul, este unul din cele mai clare exemple de aplicatie a teoriei fractalilor. Internetul, biblioteca mondiala ce pare a fi inlocuit biblioteca din Alexandria, ba chiar incearca sa o depaseasca prin procesul sau evolutiv deosebit de rapid, este un bun exemplu de structura cu proprietati fractalice. In ansamblu, ea este o structura arborescenta de link-uri, adrese catre o anumita pagina. Insa, fiecare pagina, la randul sau, prezinta o alta serie de link-uri. Acestea se leaga in mod unitar fiind adunate de asa-numitele motoare de cautare, ce prezinta o grupare de site-uri pe baza unui element comun gasit in fiecare dintre ele. Astfel ca , arborele ce realizeaza baza “Matematicii in era computerelor”, putem spune ca este o copie la o scara mult micsorata a internetului. La fel, un arbore de site-uri, la fel continand link-uri, la fel reunind o serie de site-uri pe teme comune de matematica de data aceasta… Internet-ul este in continua crestere. Mii de pagini noi apar in fiecare zi, bazele de date sunt inundate de informatii , ce sunt atent structurate pentru a pune la dispozitia utilizatorilor Informatia, elementul cel mai important in timpurile in care traim.
Ce urmeaza? E greu de spus, caci doar lancea imaginatiei poate alunga ceata ce ascunde sectiuni din viitorul mai mult sau mai putin indepartat. Astfel ca putem doar sa ne imaginam cum va arata lumea dupa ce isi va fi insusit in intregime cunoasterea haosului si a fractalilor. Putem face corelatii cu privire la modul in care am evoluat pe fundamentul matematicii clasice, implicit a geometriei euclidiene. Ne putem imagina o lume in care pragmatismul uman va atinge apogeul, in care vom fi inconjurati de structuri neliniare, adevarate ciudatenii pentru noi, pionierii ce pasesc cu precautie spre orizontul indepartat. Poate ca in viitor vom invata lectia naturii si ne vom insusi din intelepciunea ei. Poate ca Arhitectura se va reorienta, si va produce adevarati “munti” arhitecturali, de neclintit ca cei creati de divinitate, la fel de spectaculosi prin frumusetea lor nativa, la fel de utili precum cladirile cu care indraznim sa zgariem norii, inaltandu-ne tot mai sus in cautarea atingerii celeste. Nanotehnologia pare a fi un domeniu ce se poate de asemenea folosi de cunostintele fractalice pentru a explora universul uman. Cunoasterea la micro-nivel se va dovedi utila si in ceea ce priveste studiul universului, caci principiul autosimilaritatii pare a fi una din cheile fundamentale prin care putem deschide poarta cunoasterii spre urmatoarea camera. Printr-o simpla observatie putem asemana sistemul nostru solar cu atomul, in centrul careia guverneaza nestingherit nucleul, inconjurati de electronii ce se deplaseaza pe orbite haotice . Pana acum nu indrazneam sa ne imaginam ca aceasta asemanare ar fi posibila, caci orbitele sistemului nostru solar erau vazute ca fiind regulate…insa o data cu nasterea teoriei haosului, s-a dovedit ca nu este deloc asa. Aceasta ordine este haotica la o privire mai atenta, insa pe termen lung dovedeste o ordine superioara celei cu care suntem obisnuiti. Ordinea “banala”, la prima modificare a oricarui parametru ce participa la procesul liniar, se risipeste precum praful in vant… ori asta nu se poate numi ordine, ci doar o proiectie umila a principiului universal. Dizertatia de la inceputul scrierii “Sarmanul Dionis”, scrisa de Eminescu, puncteaza ceea ce abia peste un secol a fost descoperit. In ghinda se afla padurea. In parte se afla intregul… picatura e oceanul,caci o data ce picatura ia contact cu oceanul, nu se mai poate deosebi de acesta. O lege straveche pare a-si gasi confirmarea intr-unul din cele mai neasteptate momente: “ceea ce este jos, este ca si ceea ce este sus; ceea ce este sus este ca si ceea ce este jos...” Sigur, aceste lucruri par absurde, insa la fel de absurda pare si ideea ca pendulul, insasi inima unui ceas, unul din sistemele ce aspira in intregime la ordine, descrie o miscare haotica. La fel de absurda era si ideea ca pamantul se invarte in jurul soarelui, si “vremea” la ars pe Galilei care nu s-a lasat influentat de ignoranta traditionalismului. “Et pur si muove”… Si totusi asa e, putem sa continuam…nu e prima data cand ne confruntam cu lucruri ce sfideaza peste orice masura toata cunoasterea intr-un anumit domeniu de pana acum. Fizica cuantica, si cercetarile in acest domeniu, impreuna cu teoria relativitatii, au fost niste socuri puternice nu numai pentru comunitatea stiintifica, dar si pentru intelegerea omului de rand. S-a demonstrat inteligenta materiei, implicit existenta lui Dumnezeu,care insufleteste orice lucru, fie el cat de static. In acest moment, ca si pana acum, putem admira ingeniozitatea acestui creator,insa in viziunea noastra ceva se schimba in mod radical: lumea nu “a fost” creata, ci e creata in fiece clipa…caci tot ce exista nu urmeaza legile rigide ale determinismului, in care totul urmeaza un tipar previzibil,prestabilit, ci, dupa cum teoria haosului a demonstrat in mod stiintific, natura este plamadita din haos…si iubire. Iar ordinea care rasare din aceasta combinatie inedita este de ordin superior: se autogenereaza si autoperfectioneaza in fiecare moment. Dumnezeu nu este acel personaj care a creat totul la inceput, iar acum isi priveste mecanismul functionand cu minutiozitate, urmandu-si cursul banal si prestabilit. Nu, Divinitatea e intr-un permanent proces de creatie, materia, universul, sunt intr-o dinamica permanenta. Haosul si ordinea , privite in profunzime, nu se anuleaza reciproc, ci formeaza o monada, din complementaritatea lor rezultand armonia divina….


Urzica Constantin
Bibliografie:

http://www.uwm.edu/~kahl/Images/i2.html

http://hypertextbook.com/chaos/22.shtml

http://www.fractalwisdom.com/FractalWisdom/index.html

http://www.christianhubert.com/hypertext/index.htm

http://enc.slider.com/

http://www.cg.tuwien.ac.at/~fischel/Lorenz97/raleigh.html

http://www.maths.uq.edu.au/~infinity/Infinity9/lorenz.html

http://www.maths.uq.edu.au/~infinity/Infinity9/fractals.html

http://fractals.hauner.cz/index

http://mathworld.wolfram.com

http://www.umanitoba.ca/faculties/science/botany/LABS/ECOLOGY/FRACTALS/fractal.html

http://www.mathsnet.net/fractals.html

http://en.wikipedia.org

http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/General_Interest/Fractals/

http://mathforum.org/alejandre/applet.mandlebrot.html

http://mathforum.org/library/drmath/view/54539.html

http://amath.colorado.edu/appm/faculty/jdm/faq.html

http://mathforum.org/library/drmath/view/51947.html

http://mathforum.org/library/drmath/view/53807.html

http://www.daviddarling.info/encyclopedia/J/Julia_set.html

http://www.jamesh.id.au/fractals/mandel/Mandel.html

http://www.mcasco.com/jset.html

ftp://rtfm.mit.edu/pub/usenet/news.answers/fractal-faq

http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm

http://www.fractalus.com/

http://user.cs.tu-berlin.de/~bertramp/www/gallery1.html

www.uncw.edu/

http://www.canadasmountains.com/sulphur_mountain.htm

www.universulenergiei.educatia.ro/intrebari/fractali/

http://www.fractali.org/

http://www.cilu.as.ro/stiinta/fractali.php